Zero. Storia di una cifra by Kaplan Robert

autore:Kaplan, Robert [Kaplan, Robert]
La lingua: eng
Format: epub
pubblicato: 0101-01-01T00:00:00+00:00

Esiste un modo per semplificare questa frazione senza dover eseguire l’intera moltiplicazione e quindi la divisione? Sì, esiste: poiché 5/5 non è altro che 1 mascherato, e poiché in questo caso abbiamo quattro coppie di 5/5, ovverosia 1·1·1·1, ciò che rimane è 5·5·5. In altre parole,

È tutto qui: nel caso di 57·54 si sommano gli esponenti e si ottiene 511; nel caso di 57/54 si sottraggono gli esponenti e si ottiene 53.

Questo era il filo d’Arianna di cui avevamo bisogno, e se lo seguiamo torniamo a 50, il Minotauro al centro del Labirinto. 0 è un numero qualsiasi – per esempio 7 – meno se stesso. Perciò 57/57 = 57-7 = 50; ma 57/57 non è altro che 1, e dunque 50 = 1. Dato che 5 non ha nulla di speciale, questa regola deve valere universalmente: a0 = 1 per qualsiasi valore di a. Un simile risultato può apparire strano e forse inatteso, ma è un risultato certo.

Ma ora sento una voce, come se uno spettatore avesse avuto una rivelazione. «Per qualsiasi valore di a?» domanda quella voce. «E se a = 0? Anche 00 è uguale a 1?». Purtroppo non possiamo utilizzare il nostro nuovo espediente, dato che 03/03 = 0·0·0/0·0·0 e, ahinoi, ciascun 0/0 ci riporta al problema che avevamo lasciato da parte.

Lo zero, come il vecchio Caos, è ancora una volta libero, ma ora, in questa terra di esponenti, è meno controllabile. Assomiglia piuttosto a uno di quei duri di Cape Breton a un ballo che si è trasformato in rissa: «Judique è in pista. Chi lo butta fuori?» Proviamoci. Se gli esponenti ci hanno cacciato in questo pasticcio forse possono anche tirarcene fuori. In fondo, non sono altro che una notazione che ha lo scopo di aiutarci. Gli esponenti semplificano ed evocano; come abbiamo appena visto, il loro duttile significato si estende oltre il mero conteggio di numeri per il quale furono inventati da Diofanto, nostra vecchia conoscenza.

L’aspetto meraviglioso degli esponenti è che quando ne ampliamo a cuor leggero il significato scopriamo di essere obbligati a farlo in un unico modo, se vogliamo che i nuovi usi siano coerenti con i vecchi. È vero che li abbiamo inventati noi, e che possediamo il libero arbitrio, ma solo per agire in armonia con il mondo che abbiamo costruito. Questa è una delle grandi intuizioni che la matematica offre sulla condizione umana.

Tenteremo di capire che cosa sia 00 estendendo i nostri esponenti a numeri ancora più generali, come i numeri negativi e le frazioni. Ciò che abbiamo scoperto sulla sottrazione di esponenti ci dice che 52/53 = 52-3 = 5-1. D’altra parte 52/53 = 5·5/5·5·5, ovverosia 1/5, una volta trasformato ogni 5/5 in 1. Perciò dobbiamo definire 5-1 come 1/5. Analogamente, definiremo 5-2 come 1/5-2 e così via: per quasi tutti i valori di a, a-n = 1/an.

E gli esponenti frazionari come 1/2? Ricordiamoci che quando si moltiplica 53·54 gli esponenti si sommano, dando come risultato 57. Allo stesso modo 51/2·51/2 = 51/2 + 1/2 = 51.

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